Diderik Batens en Joke Meheus
Vak LOGICA voor de tweede licentie Wijsbegeerte

Op deze pagina staat informatie over de behandelde stof. Inlichtingen over de examens (vorm, zich inschrijven, ...) zijn beschikbaar op de hoofdpagina.

1. Toelichting
2. Documenten
3. De stof
4. Voorbeelden examenvragen

Hoewel dit vak een aantal technische aspecten inhoudt, dient u zich te realiseren dat die slechts een hulpmiddel vormen om filosofische vragen op te lossen en filosofische inzichten te verwerven.

Om de lessen te kunnen volgen en om te slagen dient men de stof van dit vak bij te houden gedurende het jaar. Alles wat niet duidelijk is dient zo snel mogelijk te worden opgelost. Dat kan door studie, door vragen te stellen in de les -- bij het begin van elke les is er mogelijkheid vragen te stellen over de voorgaande lessen -- en bij de begeleider. Wie dit doet zal gedurende de blok- en examenperiode voor dit vak nog weinig werk hebben.

Klik met de rechter muisknop op het document en kies "bewaren als". Daarna kan je het sneller bekijken of printen dan vanuit de browser.

1. regels vs. semantiek
2. recentste versie van het deel metatheorie PL
3. eenvoudigste beschikbare versie van het standaard formaat voor adaptieve logica´s
4. bewijs dat Relaibility niet tot compacte logica´s leidt

Wordt aangevuld naarmate de lessen volgen.

1. Volledigheidsbewijs van PL

Eerst en vooral volledig begrijpen. Dit kan onder meer blijken door het aan te passen voor een andere (verwante) logica. Gebruik de recentste versie (die werd in de les behandeld en bevat merkelijke vereenvoudigingen tegenover voorgaande versies). Let ook op de oefening en de bewijzen van de theorema's aan het begin van 6.4.

Het is erg belangrijk dat je nagaat welke lemma's en theorema's over PC moeten bewezen worden over PL om de correctheid en volledigheid van PL ten opzichte van de semantiek aan te tonen. Zorg ervoor dat je die lemma's en theorema's kan aantonen.

2. Het theorema van Gödel

Historische context, methode die achter de bewijzen zit, ‘overeenkomst’ taal-metataal en haar betekenis, de bewijzen zelf, betekenis van de theorema's.

Er zijn allerlei inleidende teksten (waaronder twee van mezelf) die nuttig kunnen zijn. Zorg er echter voor dat je de tekst van Van Heijenoort begrijpt. Zorg er ook voor dat je de betekenis van de Theorema's door hebt, zowel met betrekking tot de wiskunde als (vooral) daarbuiten.

Naast de tekst van Van Heijenoort zijn er korte stukjes over 2e orde axiomatisering, niet-standaard modellen, (beslisbare en niet-triviale) inconsistente modellen en hun relatie met de klassieke rekenkunde, en de kennistheoretische betekenis.

Een van de middelen om na te gaan of je de theorema's begrijpt, bestaat erin na te gaan wat er mis is aan teksten waarin wordt aangetoond dat de theorema's fout zijn (of dat verwante bewijzen fout zijn, bijvoorbeeld het bewijs dat de reële getallen overaftelbaar zijn (Cantor's diagonaalmethode).
Op het internet vind je redeneringen waarin met opzet (terwille van het pedagogisch nut) fouten verwerkt zijn. Amusanter zijn de teksten van mensen die menen dat er echt fouten zitten in Gödel's bewijs (en in aanverwante bewijzen). Hierna volgen enkele mooie en nuttige voorbeelden. Als je zelf in dit opzicht nuttige teksten vindt op het internet, stuur me dan het adres met een woordje uitleg.

• Specifiek over Gödel: http://arxiv.org/abs/math/0104025.
• Een schat aan amusante fouten (over Gödel's theorema's, over Cantor's diagonaalmethode en over de relatie "even veel" voor oneindige verzamelingen) vind je onder "Other mathematics papers" op http://homepage.mac.com/ardeshir/.
• Ook mooi (over Cantor): http://www.btinternet.com/~sapere.aude/page2.html#ca.

3. Teksten over adaptieve logica's

Een nuttig overzicht vind je op de Adaptive Logics Homepage. Daar worden allerlei termen verklaard en mechanismen uitgelegd, en wordt het hele opzet uit de doeken gedaan in een begrijpelijke taal. Aarzel niet opmerkingen te sturen (per email) wanneer een passage je niet duidelijk is.

Adaptieve logica's. Een precieze benadering van vertrouwde maar door logici verwaarloosde redeneervormen: volledig

Dynamic Dialectical Logics: 1, 2 , 3, 4 (idee en voorbeeld), 5 (idee en voorbeelden), 10 (lezen)

Inconsistency-adaptive logics: 1, 2, 3 (behalve theorema's 3.1 en 3.2), 4-6, 7 (behalve theorema's 7.6 en 7.7 en de voorbereiding op theorema 7.3, die begint met lemma 7.1 en eindigt met lemma 7.3), 8.

A general characterization : volledig

Joke Meheus, An Adaptive Logic Based on Jaskowski's Approach to Paraconsistency: volledig

On Classical Adaptive Logics of Induction: volledig

A Formal Logic for Abductive Reasoning: volledig

Wordt aangevuld naarmate de lessen volgen.

1. Waarom is het belangrijk aan te tonen dat PL correct en volledig is ten opzichte van zijn semantiek?
2. Theorema 23 (EQ): breidt het bewijs voor PC naar PL. Toon alleen de nieuwe gevallen aan.
3. Pas het volledigheidsbewijs aan om te tonen dat CLuN volledig is ten opzichte van zijn semantiek.
4. Van welke theorieën verwacht je normaal dat ze omega-volledig zijn? Welke theorieën zijn zeker niet omega-volledig?
5. Bepaal: Γ _ω A alss A wordt geverifieerd door alle ω-volledige PL-modellen van.Γ Is _ω compact?
6. Een van de versie van het Löwenheim-Skolem Theorema zegt dat elke (verzameling gesloten formules van de taal van PL) een aftelbaar model heeft. Gebruik het volledigheidsbewijs voor PL -- ik bedoel het bewijs zelf -- om dit aan te tonen.
7. Gödels eerste theorema zegt dat er in de taal van de rekenkunde een formule A is, die geen stelling is van PA en waarvan de negatie evenmin een een stelling is van PA (waarin PA een axiomastelsel voor de rekenkunde is). Kan je op dezelfde manier ook aantonen dat er in de taal van PL een formule A is, zodat noch A noch ~A een stelling is van PL. Zo ja, hoe verloopt het bewijs? Zo neen, leg uit waarom niet.
8. Geef een voorbeeld van een verzameling data Γ, van een verzameling data Δ en van een veralgemening die met LI niet afleidbaar is uit Γ, maar wel uit Γ∪Δ.