Diderik Batens
Hoe logische puzzels aanpakken?

Tussen vierkante haakjes staan de afdelingen van het handboek waarmee u vertrouwd moet zijn om de uiteenzetting te volgen.

1. Intuïtieve methoden
2. Alle informatie noteren   [Propositionele talen]
3. Bewijstheoretische methode   [PC als regelsysteem]
4. Semantische methoden   [Semantiek van PC]

Intuïtieve methoden

Er zijn veel dergelijke methoden. Voor eenvoudige puzzels is de vingermethode zo goed als elke andere. Ze werkt als volgt voor puzzel 1. Neem een tekening van de koffers. Plaats uw vinger op de eerste koffer om aan te duiden dat u veronderstelt dat daarin het goud zit en ga na of alles klopt. Als er iets niet klopt, plaats dan u uw vinger op de volgende koffer. Als de puzzel geen foute vooronderstellingen bevat (als het dus een goede puzzel is) kloppen de gegevens dan en slechts dan wanneer uw vinger op een van de drie koffers ligt. Voor ingewikkelde puzzels werkt de vingermethode helaas niet.

Er zijn twee verschillende redenen waarop mensen er niet in slagen een logische puzzel op te lossen. De eerste is dat ze vergeten een deel van de informatie in rekening te brengen. De tweede is dat ze, ook als ze over alle informatie beschikken, niet weten hoe te zoeken.

Bijna alle puzzels uit de lijst waar u vandaan komt, kunnen worden opgelost binnen PC. Hierna neem ik puzzel 1 als voorbeeld. Eerst toon ik hoe u ervoor zorgt alle informatie te noteren. Daarna bespreek ik twee zoekmethoden.

Alle informatie noteren

Veel mensen slagen er niet in een puzzel op te lossen omdat ze een deel van de informatie overzien. Daarom besteed ik hier uitvoerig aandacht aan.

Zoals beloofd beschouw ik puzzel 1. Alle informatie kan worden genoteerd in een PC-taal. Bovendien kan alle informatie worden uitgedrukt met behulp van drie eenvoudige zinnen:

Bekijken we eerst de opschriften op de koffers:

Nu komen we tot de beschikbare informatie. Deze valt uiteen in twee delen: gegevens over de plaats waar het goud zit en gegevens over de opschriften. We zullen beide soorten gegevens volledig noteren.

Gegevens over de plaats van het goud.
Er zit goud in precies één koffer. Het goud zit in minstens een van de drie koffers:

  1       (ET)D

en bovendien zit het in hoogstens een van de drie. Dat betekent: het zit niet in zowel de eerste als in de tweede, niet in zowel de eerste als in de derde, en niet in zowel de tweede als in de derde. Dat het goud niet zowel in de eerste als in de tweede koffer zit, wordt uitgedrukt door ~(E&T). Dit is echter gelijkwaardig aan (2). De twee andere gegevens zijn respectievelijk gelijkwaardig aan (3) en (4).

  2       E~T
  3       E~D
  4       T~D

Gegevens over de opschriften.
Precies één van de opschriften is waar. Dat minstens een van de drie opschriften waar is drukken we uit door de disjunctie van de drie opschriften:

  5       ~E(D(~E&~T))

Dat hoogstens een van de drie opschriften waar is drukken we weer uit door drie implicatieve zinnen:

  6       ~E~D
  7       ~E~(~E&~T)
  8       D~(~E&~T)

Alle (relevante) informatie is uitgedrukt in de zinnen (1) tot (8). Uit die zinnen moeten we E, T of D kunnen afleiden.

Bewijstheoretische methode

Uit de zinnen 1 tot 8 moet u E, T of D afleiden. Als u wist welke van deze drie zinnen het juiste antwoord is, dan kon u die als doel stellen. Daarmee is het probleem gereduceerd tot het zoeken van een bewijs. De enige bijkomende moeilijkheid is dat u niet vooraf weet of u E, T of D moet afleiden.

De bijkomende moeilijkheid kan gemakkelijk worden weggewerkt. Het eerste wat u kunt doen is drie bewijzen beginnen. In elk van die bewijzen stelt u een van de drie mogelijke conclusies als doel. Wanneer u om beurten in elk van deze bewijzen (of beter: probeersels) een aantal stappen zet, dan moogt u er zeker van zijn dat u de juiste conclusie na een eindig aantal stappen zult hebben afgeleid. De bewijsheuristiek voor PC garandeert immers dat u het doel van een bewijs zal bereiken als het bereikbaar is. En u weet dat een van de drie doelen bereikbaar is, als u tenminste gelooft dat ik u een oplosbare puzzel heb voorgelegd.

Een tweede methode bestaat erin geen doel te stellen in het bewijs, en de bewijsheuristiek te volgen om de premissen zoveel als mogelijk te analyseren. Naarmate u een betere zoekstrategie voor bewijzen onder de knie hebt, en dus ‘intelligentere’ bewijzen kunt maken, zal dit sneller verlopen. Hier is een voorbeeld:

1		(ET)D		PREM		Er zit goud in de eerste, de tweede of de derde koffer.
2		E~T		PREM		Als er goud zit in de eerste koffer, dan zit er geen in de tweede.
3		E~D		PREM		Als er goud zit in de eerste koffer, dan zit er geen in de derde.
4		T~D		PREM		Als er goud zit in de tweede koffer, dan zit er geen in de derde.
5		~E(D(~E&~T))		PREM		Er zit geen goud in de eerste koffer, of er zit goud in de derde koffer, of er zit noch in de eerste noch in de tweede koffer goud.
6		~E~D		PREM		Als er geen goud zit in de eerste koffer, dan zit er geen in de derde.
7		~E~(~E&~T)		PREM		Als er geen goud zit in de eerste koffer, dan is het niet zo dat er noch in de eerste noch in de tweede koffer goud zit.
8		D~(~E&~T)		PREM		Als er goud zit in de derde koffer, dan is het niet zo dat er noch in de eerste noch in de tweede koffer goud zit.
9		DE		6; CPOS		Als er goud zit in de derde koffer, dan zit er in de eerste.
10		(ET)E		1, 9; DIL		Er zit goud in de eerste of in de tweede koffer, of er zit goud in de eerste.
11		ET		10; DPAC		Er zit goud in de eerste of in de tweede koffer.
12		~D		3, 4, 11; DIL		Er zit geen goud in de derde koffer.
13		D(~E(~E&~T))		5; DPAC		Er zit goud in de derde koffer, of er zit geen goud in de eerste, of er zit noch in de eerste noch in de tweede koffer goud.
14		~E(~E&~T)		12, 13; DS		Er zit geen goud in de eerste koffer, of er zit noch in de eerste noch in de tweede koffer goud.
15		(~E~E)&(~E~T)		14; DIST		Er zit geen goud in de eerste koffer of er zit geen goud in de eerste koffer; bovendien zit er geen goud in de eerste koffer of zit er geen in de tweede.
16		~E~E		15; SIM		Er zit geen goud in de eerste koffer of er zit geen goud in de eerste koffer.
17		~E		16; DPAC		Er zit geen goud in de eerste koffer.
18		T		11, 17; DS		Er zit goud in de tweede koffer.

In de vierde kolom staan de zinnen voluit in het Nederlands. Volg het bewijs eens door alleen naar de derde en vierde kolom te kijken. Het bewijs is doorzichtiger als u naar de tweede kolom kijkt in plaats van naar de vierde. Vergeet echter niet dat het erop aan komt uw denkvermogen in het Nederlands te verbeteren. De formele taal is slechts een hulpmiddel. Ik herhaal nog maar eens: het is belangrijk dat u voor elk bewijs dat u maakt een parafrase in het Nederlands geeft.

Opmerking. U kan een dergelijk bewijs ook zoeken met behulp van het computerprogramma. U moet dan wel eerst in de premissen de zinnen E, T en D vervangen door p, q en r. U zal merken dat het programma een doel eist en alleen het doel q aanvaardt. Het programma is zo geschreven om te vermijden dat studenten blijven zoeken op een bewijs dat er niet is. Aangezien u dan al weet dat u q moet afleiden, zal het bewijs wat eenvoudiger verlopen dan dat hierboven. Bovendien helpt u dat niet echt om ‘open’ problemen te leren oplossen.

Zijn er geen methoden die sneller gaan dan de bewijstheoretische? Uiteraard, bijvoorbeeld de vingermethode. Maar die werkt niet meer als de puzzel complexer wordt. Ook de semantische methoden (volgende afdeling) geen sneller, maar dan moet u vanzelfsprekend eerst wel de semantiek kennen.

Semantische methoden

Het eenvoudigst is hier de tableaumethode te volgen. U schrijft de acht premissen in de kolom WAAR en laat de kolom VALS open. Daarna past u de tableauregels toe. U zal merken dat alle tableaus sluiten, behalve die waarin T voorkomt in de kolom waar. Dit betekent dat de constructie sluit indien u T in de kolom VALS schrijft, met andere woorden, dat T uit de premissen volgt.

Voor studenten die geen tableaumethoden kennen (maar wel de semantiek) volgt hier nog een andere en erg snelle methode.
Stap 1. Maak een lijst met alle premissen en alle deelzinnen ervan.
Stap 2. Orden de lijst zo dat elke zin in de lijst voorkomt na de deelzinnen ervan. Een voorbeeld vindt u in de linker kolom van de tabel hieronder.
Stap 3. Schrijf de lijst in de linker kolom van een tabel (zoals hieronder — de premissen zijn geel ingekleurd) en vul in de eerste drie rijen (cyaanblauw ingekleurd) alle combinaties van waarheidswaarden in voor de niet samengestelde zinnen E, T en D. Zo zijn er acht.
Stap 4. Vul nu stap voor stap de waarheidswaarden in van de samengestelde formules in alle kolommen. In de tabel hieronder wordt dus eerst rij 4 ingevuld. U ziet daarin dat TD vals is alss zowel T als D vals zijn.
Stap 5. Op de vijfde rij staat er een nul in de negende kolom (rood ingekleurd). Als E, T en D vals zijn, dan is dus ook (ET)D vals. Deze formule is echter een premisse. Met andere woorden, de toestand die wordt voorgesteld door de negende kolom, namelijk dat er in geen van de drie koffers goud zit, wordt uitgesloten door die premisse. Daarom hoeven we de negende kolom niet verder uit te werken. Op dezelfde manier worden er nog zes andere toestanden uitgeschakeld. De toestand die overblijft (in de zevende kolom) is de oplossing van de puzzel: het goud zit in de tweede koffer.

E	1	1	1	1	0	0	0	0
T	1	1	0	0	1	1	0	0
D	1	0	1	0	1	0	1	0
TD	1	1	1	0	1	1	1	0
(ET)D	1	1	1	1	1	1	1	0
~E	0	0	0	0	1	1	1
~T	0	0	1	1	0	1	0
~D	0	1	0	1	0	1	0
E~T	0	0	1	1	1	1	1
E~D			0	1	1	1	1
T~D				1	0	1	1
~E~D				1		1	0
~E&~T				0		0
D(~E&~T)				0		0
~E(D(~E&~T))				0		1
~(~E&~T)						1
~E~(~E&~T)						1
D~(~E&~T)						1

Zowel uit deze tabel als uit het bewijs in de vorige afdeling blijkt dat er meer premissen zijn dan nodig is om de puzzel op te lossen. Maak eens een versie van de puzzel (die vlot loopt in het Nederlands maar) waarin minder gegeven is.
Is er een methode om na te gaan of er in een puzzel precies voldoende informatie gegeven is opdat hij oplosbaar zou zijn? Als er een dergelijke methode bestaat, zal ze dan eerder bewijstheoretisch of semantisch zijn?