Sources in the history of algebra: arithmetical and recreational problems

Conspectus of problems from: Evclidis Megarensis, philosophi & mathematici excellentissimi, sex libri priores, de geometricis principijs, ...
Transcription by: Albrecht Heeffer

SAC101 Inveniendus est numerus, à quo primo eius ¼, de residuo deinde 2/5 substractis, 13 tandem uel 27 maneant. (p. 17)
SAC102 Dividantur 40 in tres partes secundum rationem subsuperbipartientem, tertias continuatas. (p. 18)	x + 1 2/3x + 2 7/9x = 40>
SAC103 Dividantur 40 in tres partes, Utcum has, primam quidem in 4, secundum verò in 5, ac tertiam deinde in 6 dividero, exeuentes numeri in subsuperbipartiente tertias ratione continuatur. (p. 18)
SAC104 Grossus valet 10 nummulis, 24 verò grossi florinum constituunt. Aliquis nunc florinum pernutans, tot pro eo grossos, quot nummulas cupiens, quaeritur quantum utriusque recipiat. (p. 19)	11/10 x = 24>
SAC105 Est area quaedam quadrangularis, continens in superficie 588 areoles, inter se & toto similes. Quia autem huius areae longitudo ad latitudinem est, ut 4 ad 3 : quanta ipsius longitudo, latitudo item sit, quaeritur. (p. 19)
SAC106 Dux in castris suo sub imperio habet aliquot mille milites. Quoniam autem exercitum quadrata figura tantae amplitudinis, quanta fieri possit instruere conatur, primaque instructione specie quadrata perfecta, residui manent 284 milites : quòd si in singulos ordines unum duntaxat militem adiecisset, tum ei 25 ad absoluendum quadratam aciem defuissent. Quaeritur igitur, quot sub se dux ille milites habuerit. (p. 19)	x2 + 284 = x2 + 2x - 24>
SAC107 Est numerus unus ad alterum sesquiquartus. Quoniam autem de maiori 8 ablatis, minori uerò numero 8 uel 4 additis, collectum ad residuum 2 ½ rationem constituit, qui’nam sint illi duo numeri, quaeritur. (p. 20)
SAC108 Numerus in tres partes divisus est. Quoniam autem prima pars respectu divisi, subsequialteram : secunda vero, subduplam : ac tertia deinde, et ipsa respectu divisi, postquam tatem 4 aliunde acceperit, subsesquitertiam rationem constituit, quantus sit ipse totus numerus, quantae etiam singulae partes, quaeritur. (p. 20)	x = 2/3x + x/2 + 3/4x – 4>
SAC109 Sunt tres numeri, quorum primus & tertius noti 48 & 11, medius ignotus, Quia uerò, quam rationem habent primus & tertius inter se, illa eadem est & exessus primi super medium, ad exessum medij super numerum tertium, quantus ergo medius numerus est, quaeritur. (p. 21)	59x = 1056>
SAC110 Sunt tres numeri, quorum primus & tertius noti 48 & 11, vel 24 & 12 medius ignotus, Quia uerò quam rationem habent primus & tertium inter se, illa eadem est differentiae medij & tertij, ad differentiam primi & medij, quantum ergo medius numerus est, quaeritur. (p. 22)
SAC111 Dividantur 61 in 9 vel 6 partes Arithmeticae progressionis, et esto quò a prima pars, vel primus ac minimus numerus sint 6, qui sunt octo vel quinque reliqui? (p. 22)
SAC112 Est quidam rex, sunt et principes, comites & milites, quot autem rex sub potestate sua habet principes, in duplo plures sub se comites habent singuli principes : in quadruplo uerò plures sub se habent milites singuli comites. Quia uerò militibus numeratis, invenitur, quòd ducentisema quot igitur nunc principes fuerint, quot item comites ac milites deinde, in dubium vocatur. (p. 22)
SAC113 Est aedificium quoddam παραλληλως secundum quatuor cuius latera extructum, cuius altitudo cum ad suam longitudinem superbipartientem tertias, ad latitudinem vero, Duplam sesquialteram constituat rationem, altitudine deinde cum longitudine, ac producto tandem cum latitudine multiplicato, numerus 39930. Ulnarum producatur, quantae huius aedificij singulae dimensiones fuerint, quaeritur. (p. 22-23)
SAC114 Murus, cuius longitudo quidem in 3 ½ latitudinem, altitudo verò in quincupla ratione ad longitudinem constructus est, ab Artifice tandem 980 coronatis redimitur. Quoniam autem, cum pro singulis virgis, ut dicitur, extruendis, tot coronati, quot ipse murus in latitudine virgas habet, expositi sint, quaenam huius muri altitudo sit, longitudo item, ac latitudo etiam, quaeritur. (p. 23)
SAC115 Dividantur 72 in quatuor partes, quarum prima sit una septima secundae et tertia, secunda verò 1/5 tertiae et quartae, tertia autem ½ quartae et primae, quaeritur de partibus. (p. 23-24)
SAC116 Tres negociatores societatem inventes, contulerunt 170 aureos. Primus itaque cum sua pecunia collata huic contractui interesse vult 3 mensibus, secundus 6, tertius 8. Nunc si hac communi pecunia, tantùm hoc temporis spacio lucrifecerint, ut sors cum lucro perficiat summam 375 aureorum, atque primo 75, secundo verò 200 aurei et tertiò deinde quod reliquum est tribuatur, quaeritur quanta nam uniuscuiusque sors, sive à singulis collata pecunia fuerit. (p. 24)
SAC117 Propositum est dividere 91, 27 vel 118 in quatuor partes. Primò, secundum rationes 1½ , duplam et subsequitertiam quaeritur quae sint partes futurae. (p. 24-25)	15x + 56 = 91, 17x + 64 = 91>
SAC201 Quaerantur duo numeri in ratione 3 ¼, ut si unus cum altero multiplicatus, producto deinde ambo numeri addite fuerint. (p. 28-29)	4/13 x + 1 4/13 x2 = 142 ½>
SAC202 Proficiscitur aliquis peregrè, vadit autem primo die 1 ½ miliare, secundi deinde diei atque deinceps sequentium ordine omnium itinera, arithmetica medietate absolvit, iter cuiusque sequentis super praecendentis diei iter in miliaris una sexta augens. Nunc vero cum ille secundum hanc medietatem iter quoddam 1370 vel 2955 miliariorum absolvendum et preambulandum sibi instituerit, in quanto tempore id facere possit, quaestio erit. (p. 29-30)	(x2 + 17x)/12 = 1370>
SAC203 Numerus in duo divisus est, in 4 scilicet, partem notam, et alium deinde numerum, partem scilicet ignotum. Quoniam autem parte ignota multiplicata primò in se, deinde cum parte etiam illa nota, 117 colliguntur. Quanta feurit totus numerus ? Auanta ignota pars? (p. 30)	x2 + 4x = 117>
SAC204 Sunt tres numeri continuè proportionales, unus autem extrorum cum sint 20 1/4 , alter verò et duplum medij, 22 faciant, quantus uterque sit, medius scilicet et alter extromorum quaeritur. (p. 30)	445 ¼ = x2 + 40 ½ x>
SAC205 Propositum est dividere numerum 8 in duas partes, quarum secundae quantitates, unà cum primus, et his ipsis numeris, 199 faciant, quaeritur, etc. (p. 30-31)	584 – 208x + 20 x2 = 194>
SAC206 Duo habent mercis cuiusdam libras vel ulnas 11. Quoniam autem, cum quot ulnas primus habet, tot secundus uno coronato vendere soleat, primus deinde, quia uno coronato tantum exponit, quanta est 1/6 earum ulnarum quas secundus habet, atque cum sic ambo 6 coronatos, uno sextante minus, acceperint, quot ulnas seorsim uterque habuerit, quot deinde ulnas uno coronato vendiderit, quaeritur. (p. 31)
SAC207 Habent duo sericum, unus quidem 40, alter verò 90 ulnas. Quoniam autem, cum primus in triente ulnae plus, uno coronato det quàm ipse secundus, atque deinde in medium collatis pecunijs 42 coronatos numerent, quot uterque ulnas uno coronato exposuerit, quaeritur. (p. 31-32)
SAC301 Propositum est invenire duos numeros, quorum multiplicatio quidem unius cum altero 24, secundae vero illorum quantitates simul iunctae 280, vel 539 constituant ; quaeritur, qui’nam sint illi duo numeri. (p. 33)
SAC302 Propositum est invenire numerum, cuius quadratum post quam primò acceperit 8, secundo verò 3 amiserit, ut multiplicatio tandem collecti cum residuo 6942 producat. (p. 34)	(x + 8)(x2 – 3) = 6942>
SAC303 Propositum est invenire numerum, cuius quadratum post quam primò acceperit 8, numerus verò ipse 3 amiserit, ut multiplicatio tandem collecti cum residuo 534 producat. (p. 34)
SAC401a Esto triangulorum rectangulum atque cathetus eius 8 – √32 basis verò et hypothenusa simul, 16 – √128, quanta erit utraque, basis scilicet et hypothenusa, linea seorsim quaeritur. (p. 56)
SAC401b Triangulum esto rectangulum atque cathetus eius 8 + √32, basis verò et hypothenusa simul, 16 + √512, quanta erit utraque, basis scilicet et hypothenusa, linea seorsim quaeritur. (p. 57)
SAC402 Sunt 12 divisa in duas partes. Quoniam autem partium multiplicatio unius quidem cum altera, 20 vel 28 producit, quanta erit utraque pars? (p. 59)
SAC403 Sunt 12 divisa in partes duas. Quoniam autem partium quadrata simul 90 vel 100 faciunt, partes igitur quantae sunt ? (p. 59)
SAC404 Numerus in duo divisius est quoniam autem partium differentia sunt 6, qui verò ex multiplicatione unius cum altera producitur numerus 27 vel 36, quantus sit ipse divisus, quantae deinde etiam partes, quaeritur. (p. 60)
SAC405 Sunt 12, vel 19 divisa in duas partes. Quoniam autem una parte cum altera multiplicata, producto deinde in partium differentiam divisio 17 ½ exeunt, quantae partes sint, quaeritur. (p. 61)
SAC406 Sunt tres numeri, quorum primus cum aliquo alio, quarto scilicet, ad reliquos duos simul sumptos, sit 1/3. Secundus verò cum eodem quarto, ad reliquos, sit in ratione 3/5. Ac tertius deinde, et ipse cum eodem quarto numero, reliquis duobus aequalis sit. Cum sic ille quartus numerus, ex hypothesi, 8 esse ponatur, quanti nunc hi tres numeri esse debeant, quaeritur. (p. 61)
SAC407 Sunt tres numeri, quorum primus cum aliquo alio, quarto scilicet, ad reliquos duos simul sumptos : sesquialteram, secundus verò cum eodem quarto, ad reliquos, ut 3 ad 5. Ac tertius deinde, et ipse cum eodem quarto numero, equalitas rationem constituet cum ille quartus numerus iuxta propositum 9 vel 24 aut unitas esse ponatur, quanti nunc hi tres numeri esse debeant, quaeritur (p. 62)
SAC408 Dividantur 132 in tres partes sic, ut prima multiplicata per 3, producat tres quartas minus 3 , secundae partis divise in 2, Et iterum prima multiplicata per 4, producat tres quintas minus 1, tertiae partis divisae in 7, quaeritur, etc. (p. 62-63)	x + (8x + 8) + (46 2/3 x + 11 2/3) = 132>
SAC409 Dividantur 36 in tres partes sic, ut prima multiplicata per 6, producat sesquialterum plus 9, secundae partes divisi in 5 : et secunda divisa in 8, statuat sesquiqartum minus 4, tertie partis multiplicato per 3, quaeritur etc. (p. 63)	21 2/3 – 29 14/15 = 36>
SAC410 Propositum est, numerum 6, 12, 8 vel 21 , seu quemcumque alium numerum, dividere in duas portiones, quarum maioris quadratum tantum faciat, quantum numerus ipse, cum sua portione minore multiplicatus producit. (p. 63-64)
SAC411 Et quia numero in duas partes propositiones diviso, quarum maioris quadratum faciat, quantum totus divisus numerus cum minori sua portio ne multiplicatus producit, quantus suerit ipse totus numerus, minor item portio, cum maior portio ex hypothesi sit ra. 80 – 4, vel ra, 45 – 3 quaeritur. (p. 64-65)
SAC412 Duobus numeris inequalibus, 34 et 30 datis, propositum est, maiorem in duas portiones ita dividere, ut inter eas medietas minoris sit medio loco proportionalis, vel, quod idem est, ut qui sub portionibus, una cum altera multiplicata, continetur numerus, aequalis parti quadrati, numeri minoris. (p. 65)
SAC413 Dividatur 10 in duas portiones quarum una cum altera multiplicata 15, 20, 24, 1 vel ¾ etc., producuntur. (p. 67)	x (10 – x) = 15>
SAC414 Sunt tres numeri et esto quòd primus cum 6, secundum 2/3 : secundus verò cum 4, ipsum tertium bis, et eius ¼ : ac tertius deinde minus 9, primi numeri tres quartes contineat, quaeritur de numeris. (p. 67)	(6x – 29)/9 = 3/5 x>
SAC415 Detur numerus quadratus, cuius radicis quadruplo 21 additis, quod colligitur, ad ipsum quadratum se habeat in ratione 3 2/3 vel 2 1/4 , vel equalitatis, etc. quaeritur. (p. 67-68)	12x + 63 = 11x2>
SAC416 Sunt tres numeri, primus quidem ad ipsum tertium, triplus : secundus verò ad eundum tertium, ut 3 ad 4. Quaniam autem 6 de primo substractis, tribus verò secundo numero additis, ac residuo deinde cum collecto multiplicato: novemcupluis, vel quadruplus sesquitertius, ad tertium numerum producitur. Quanti igitur illi tres numeri singuli seorsim sint, in dubium venit. (p. 68-69)	(x – 6)(x/4 + 3) = 3x>
SAC417 Desideratur quadratus numerus, cuius 2/3 ducte in se, producant duodecuplum radicis, vel radicis vigincuplum. (p. 69)
SAC418 1/24 quadrati ducta in se, producit triplum, vel septencuplum radicis, quaeritur etc. (p. 69)
SAC419 Sunt duo numeri. Quoniam autem quadratum prioris ad posteriorem, 1 1/3 : posterioris contra ad numerum priorem : 4 ½ rationem constituit, qui nam illi duo numeri sint, quaeritur. (p. 69)
SAC420 Numerus 12 in duo divisus est, Quoniam autem ex multiplicatione totius cum differentia, et minoris quadrato : 64 colliguntur, vel quoniam autem ex multiplicatione totius cum differentia, et maioris quadrato : 112 colligentur, vel quoniam autem quadrata partium, et quod ex multiplicatione totius cum differentia colligitur : 128 constituunt. Quoniam autem haec duo simul, quod scilicet ex multiplicatione totius cum differentia, quodque ex una parte cum altera multiplicata prodicitur 80, constituunt, etc. (p. 69-70)
SAC421 Est qui peregrinationem instituit hoc modo, ut uidelicet plures abesse dies nolit, quàm aureos secum domo esserat : eo nimirum consilio, ut si fortè minus prosperè cedat, in singulos dies singuli suppetant ipsi aurei. Et quoniam Mercurio duce, singulis diebus tot aurei accedunt illi, quot eo mane cum domo egrederetur, habuerat, tandem reversus domum ac numerans pecuniam, 52 aureos et ½, vel 63 invenit. Quaeritur ergo quot initio profectionis aureo habuerit. (p. 73-74)	(24 + 8x) + x(24 + 8x) = 52½>
SAC422 Quidam certa aureorum summa negociatus huius trientem, uno aureo et ½ minus, lucratus est. Quare deinde cum sorte et lucro negocians, huius alteram partem, plus 8 aureis lucratur. Id nunc tertiò faciens, similem, aut meliorem fortè, fortunam speraturus, eius quod habet iacturam facit in quadrante. Vel si placet, eius quod habet quadrantem lucrifacit. Quia autem nunc retentam cum numeret pecuniam, vel aureos, invenit, hic quidem 232 plus 3/16, illic verò 100 – 1/16 quaeritur quótnam aureos ipse primò habuerit. (p. 75)
SAC423 Sit unus numerus notus, nimirum 28, 63 vel 42, quatuor deinde alij ignoti: et esto quod ignotorum primus cum reliquorum trium altera parte, secundus verò cum reliquorum tertia parte, tertius autem cum reliquorum quarta, ac quartus deinde cum reliquorum parte quinta, ipsum notum positum aequent. Quaeritur de numeris ignotis. (p. 75-76)
SAC424 Fundus quidam inscribitur 375 coronatis, quod ubi unus resciscit, ipsius autem fortunae multo minores quàm et eum emere possit, re igitur infecta, discedit. Hoc idem et alijcuidam, ac deinde etiam tertio accidit. Veruntamem si is qui primo loco fundum est licitatus, dimidiam pecuniae partem à reliquis: is verò qui secundo, doctrantem à reliquis : is autem qui tertio, bessem à reliquis acciperet, singulorem tandem pecuniae eo modo autem sufficerent ad emendum fundum. Quare nunc quaestio oritur, quot coronatos seorsim quisque habuerit. (p. 76)